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8. 위상 정렬
8. 위상 정렬
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공부할 내용
서로소 집합 신장 트리 크루스칼 알고리즘 위상 정렬
공부 방법
기타 그래프 이론 - 동빈나 영상 시청 및 정리
이것이 코딩테스트다 책 참고
추천문제 풀기 (블로그에 문제 풀이를 게시하지는 않겠음)
위상 정렬
사이클이 없는 방향 그래프 의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열 하는 것을 의미한다.
의 모든 노드를 하는 것을 의미한다. 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정
위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서 는? 자료구조 -> 알고리즘 -> 고급 알고리즘 (O) 자료구조 -> 고급 알고리즘 -> 알고리즘 (X)
는?
진입차수와 진출차수
진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
위상 정렬 알고리즘
큐 를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정 은 다음과 같다. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노으데서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
를 이용하는 은 다음과 같다.
결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.
위상 정렬 동작 예시
위상 정렬을 수행할 그래프를 준비한다. 이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래 (DAG) 여야 한다.** 만약 사이클이 존재한다면, 그 사이클에 포함되어있는 모든 노드는 진입차수가 1이 된다. 즉 사이클에 포함되어있는 모든 노드는 큐에 들어갈 수 없기 때문에 위상정렬을 수행할 수 없다.
[초기 단계] 초기 단계에서는 **진입차수가 0인 모든 노드 를 큐에 넣는다. 처음에 노드 1 이 큐에 삽입된다.
(노드2 -> 노드6 으로 가는 화살표를 실수로 생략했습니다. 있다고 가정해주세요!)
[Step 1] 큐에서 **노드 1 을 꺼낸 뒤에 노드 1 에서 나가는 간선을 제거한다. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드 들을 큐에 삽입한다.
[Step 2] 큐에서 **노드 2 를 꺼낸 뒤에 노드 2 에서 나가는 간선을 제거한다. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드 들을 큐에 삽입한다. 동시에 여러 노드가 큐에 들어갈 수도 있는데, 사실 어떤 노드가 먼저 들어가든 크게 상관없다.
를 꺼낸 뒤에 에서 나가는 간선을 제거한다.
[Step 3] 큐에서 **노드 5 를 꺼낸 뒤에 노드 5 에서 나가는 간선을 제거한다. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드 를 큐에 삽입한다.
를 꺼낸 뒤에 에서 나가는 간선을 제거한다.
[Step 4] 큐에서 **노드 3 를 꺼낸 뒤에 노드 3 에서 나가는 간선을 제거한다. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드 가 없으므로 그냥 넘어간다.
를 꺼낸 뒤에 에서 나가는 간선을 제거한다.
[Step 5] 큐에서 **노드 6 를 꺼낸 뒤에 노드 6 에서 나가는 간선을 제거한다. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드 를 큐에 삽입한다.
를 꺼낸 뒤에 에서 나가는 간선을 제거한다.
[Step 6] 큐에서 **노드 4 를 꺼낸 뒤에 노드 4 에서 나가는 간선을 제거한다. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드 를 큐에 삽입한다.
를 꺼낸 뒤에 에서 나가는 간선을 제거한다.
[Step 7] 큐에서 **노드 7 를 꺼낸 뒤에 노드 7 에서 나가는 간선을 제거한다. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드 가 없으므로 그냥 넘어간다.
를 꺼낸 뒤에 에서 나가는 간선을 제거한다.
**[위상 정렬 결과] 큐에 삽입된 전체 노드 순서: 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 6 -> 4 -> 7
위상 정렬의 특징
위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다. DAG(Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재 할 수 있다. 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다.
할 수 있다. 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재 한다고 판단할 수 있다. 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.
한다고 판단할 수 있다. 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.
위상 정렬 알고리즘
// 위상정렬 public class TopologicalSorting { // 노드의 개수(V)와 간선의 개수(E) // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정 private static int v, e; // 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화 private static int[] indegree = new int[100001]; // 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화 private static List> graph = new ArrayList<>(); // 위상 정렬 함수 public static void topologySort() { List result = new ArrayList<>(); // 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트 Deque q = new ArrayDeque<>(); // 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입 for (int i = 1; i <= v; i++) { if (indegree[i] == 0) { q.offer(i); } } // 큐가 빌 때까지 반복 if (!q.isEmpty()) { // 큐에서 원소 꺼내기 int now = q.poll(); result.add(now); //해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기 for (int i = 0; i < graph.get(now).size() ; i++) { indegree[graph.get(now).get(i)]--; // 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입 if (indegree[graph.get(now).get(i)] == 0) { q.offer(graph.get(now).get(i)); } } } // 위상 정렬을 수행한 결과 출력 for (int i = 0; i < result.size(); i++) { System.out.print(result.get(i) + " "); } System.out.println(); } public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); v = sc.nextInt(); e = sc.nextInt(); // 그래프 초기화 for (int i = 0; i <= v; i++) { graph.add(new ArrayList<>()); } // 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기 for (int i = 0; i < e; i++) { int a = sc.nextInt(); int b = sc.nextInt(); graph.get(a).add(b); // 정점 A에서 B로 이동 가능 // 진입 차수를 1 증가 indegree[b]++; } topologySort(); } }
위상 정렬 알고리즘 성능 분석
위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 한다. 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V + E) 이다.
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