7. 최단 경로 알고리즘 - 다익스트라(Dijkstra)

7. 최단 경로 알고리즘 - 다익스트라(Dijkstra)

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최단 경로

최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘 을 의미한다.

을 의미한다. 다양한 문제 상황 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로

각 지점은 그래프에서 노드 로 표현 각 노드는 문제상황에 따라 국가, 도시, 마을 등으로 다르게 정의될 수 있다.

로 표현 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선 으로 표현

다익스트라 최단 경로 알고리즘

특정한 노드 에서 출발하여 다른 모든 노드 로 가는 최단 경로를 계산한다.

에서 출발하여 로 가는 최단 경로를 계산한다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다. 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않는다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택 해 임의의 과정을 반복한다.

기본적으로 최단경로 문제는 DP 알고리즘으로 분류되기도 한다.

다익스트라 알고리즘 동작 과정

출발 노드를 설정한다. 최단 거리 테이블을 초기화한다. 자기자신으로 가는 경로는 0, 다른 노드로 가는 경로는 무한으로 설정한다. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다. 그리디 알고리즘이라고 불리는 이유! 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

알고리즘 동작과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다.

처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신한다.

)

[초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정한다.

그래프를 준비하고 출발 노드를 설정한다. 출발* : 1번 노드

[Step 1] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리한다.

(Step1 이미지)

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 노드를 처리한다. (Step1 이미지) [Step 2] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.

(Step2 이미지)

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 노드를 처리한다. (Step2 이미지) [Step 3] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다. 2번과 5번의 최단 거리가 같기 때문에 둘 중 어느 것을 먼저 선택하던지 상관없지만, 일반적으로 노드 번호가 작은 것을 먼저 선택한다.

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 노드를 처리한다. 이미 방문한 노드라면 무시하는 방법을 사용할 수도 있다. 이미 방문한 노드는 그 노드까지의 최단거리가 이미 결정이되어 바뀌지 않기 때문이다.

[Step 4] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다.

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 노드를 처리한다. [Step 5] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다.

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 노드를 처리한다. [Step 6] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 6번 노드를 처리한다. 사실 마지막 노드는 처리하지 않아도 괜찮다.

방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 노드를 처리한다.

다익스트라 알고리즘의 특성

그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택 해 임의의 과정을 반복한다.

해 임의의 과정을 반복한다. 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정 되어 더 이상 바뀌지 않는다. **한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.

되어 더 이상 바뀌지 않는다. 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다. 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.

다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

package shortest_path_finder; import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.List; import java.util.Scanner; public class SimpleDijkstra { private static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정 // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start) // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 지정 private static int n, m, start; // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열 private static List> graph = new ArrayList<>(); // 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 배열 만들기 private static boolean[] visited = new boolean[100001]; // 최단 거리 테이블 만들기 private static int[] d = new int[1000001]; // 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환 public static int getSmallestNode() { int minValue = INF; int index = 0; // 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스) for (int i = 1; i <= n; i++) { if (d[i] < minValue && !visited[i]) { minValue = d[i]; index = i; } } return index; } public static void dijkstra(int start) { // 시작 노드에 대해서 초기화 d[start] = 0; visited[start] = true; for (int i = 0; i < graph.get(start).size(); i++) { d[graph.get(start).get(i).getIndex()] = graph.get(start).get(i).getDistance(); } // 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복 for (int i = 0; i < n - 1; i++) { // 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리 int now = getSmallestNode(); visited[now] = true; // 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인 for (int j = 0; j < graph.get(now).size(); j++) { int cost = d[now] + graph.get(now).get(j).getDistance(); // 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 if (cost < d[graph.get(now).get(j).getIndex()]) { d[graph.get(now).get(j).getIndex()] = cost; } } } } public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt(); m = sc.nextInt(); start = sc.nextInt(); // 그래프 초기화 for (int i = 0; i <= n; i++) { graph.add(new ArrayList<>()); } // 모든 간선 정보를 입력받기 for (int i = 0; i < m; i++) { int a = sc.nextInt(); int b = sc.nextInt(); int c = sc.nextInt(); // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미 graph.get(a).add(new Node(b, c)); } // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화 Arrays.fill(d, INF); // 다익스트라 알고리즘을 수행 dijkstra(start); // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력 if (d[i] == INF) { System.out.println("INFINITY"); continue; } System.out.println(d[i]); } } public static class Node { private final int index; private final int distance; public Node(int index, int distance) { this.index = index; this.distance = distance; } public int getIndex() { return index; } public int getDistance() { return distance; } } }

간단한 구현 방법 성능 분석

총 O(V) 번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.

번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다. 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V^2) 이다.

이다. 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수도 있다. 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 어떻게 해야할까? 이 경우에는 시간초과 판정을 받을 수 있다. 더 효율적으로 동작하는 알고리즘을 설계해야한다.

우선순위 큐(Priority Queue)를 사용하여 최적화한다.

우선순위 큐란...?

우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼제 삭제하는 자료구조이다.

Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다.

힙(Heap)

우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.

최소 힙(Min Heap) 과 최대 힙(Max Heap) 이 있다.

과 이 있다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.

우선순위 큐 구현 방식 삽입 시간 삭제 시간 리스트 O(1) O(N) 힙(Heap) O(logN) O(logN)

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택 하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다.

하기 위해 자료구조를 이용한다. 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일 하다. 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다. 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.

하다.

다익스트라 알고리즘: 도작과정 살펴보기 (우선순위 큐)

[초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정하여 우선순위 큐에 삽입한다.

그래프를 준비하고 출발 노드를 설정하여 우선순위 큐에 삽입한다. [Step 1] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 1번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다. [Step 2] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 4번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다. [Step 3] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 2번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다. [Step 4] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 5번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다. [Step 5] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다. [Step 6] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다.

우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 노드는 이미 방문했으므로 무시한다. [Step 7] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 6번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다.

우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 노드는 이미 방문했으므로 무시한다. [Step 8] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다.

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법

public class ImprovedDijkstra { private static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 10억을 설정 // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start) private static int n, m, start; // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열 private static List> graph = new ArrayList<>(); // 최단 거리 테이블 만들기 private static int[] d = new int[100001]; public static void dijkstra(int start) { Queue pq = new PriorityQueue<>(); //시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입 pq.offer(new Node(start, 0)); d[start] = 0; while (!pq.isEmpty()) { // 큐가 비지 않았다면 //가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기 Node node = pq.poll(); int distance = node.getDistance(); // 현재 노드까지의 비용 int now = node.getIndex(); // 현재 노드 // 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시 if (d[now] < distance) { continue; } // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인 for (int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++) { int cost = d[now] + graph.get(now).get(i).getDistance(); // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 if (cost < d[graph.get(now).get(i).getIndex()]) { d[graph.get(now).get(i).getIndex()] = cost; pq.offer(new Node(graph.get(now).get(i).getIndex(), cost)); } } } } public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt(); m = sc.nextInt(); start = sc.nextInt(); // 그래프 초기화 for (int i = 0; i <= n; i++) { graph.add(new ArrayList<>()); } // 모든 간선 정보를 입력받기 for (int i = 0; i < m; i++) { int a = sc.nextInt(); int b = sc.nextInt(); int c = sc.nextInt(); // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미 graph.get(a).add(new Node(b, c)); } // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화 Arrays.fill(d, INF); // 다익스트라 알고리즘을 수행 dijkstra(start); // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력 for (int i = 1; i <= n ; i++) { if (d[i] == INF) { System.out.println("INFINITY"); continue; } System.out.println(d[i]); } } public static class Node implements Comparable { private int index; private int distance; public Node(int index, int distance) { this.index = index; this.distance = distance; } public int getIndex() { return this.index; } public int getDistance() { return this.distance; } // 거리(비용)가 짧은 것이 높은 우선순위를 가지도록 설정 @Override public int compareTo(Node other) { if (this.distance < other.distance) { return -1; } return 1; } } }

참고로 동빈님 강의에서는 python의 heap 라이브러리를 예시로 드는데, 라이브러리는 최소힙만 제공하기 때문에 최대힙을 구하기 위해서는 value를 -(음수)로 넣어서 최소힙으 일단 구한 뒤, 값을 꺼낼 때는 다시 양수로 변경하라고 한다. 자바는 아래와 같이 Comparator.reverseOrder()를 파라미터로 넣어서, 우선순위가 높은 순서대로 정렬할 수 있다. 추측해보자면... 최대힙으로도 사용할 수 있지 않을까?

Queue pq = new PriorityQueue<>(Comparator.reverseOrder());

개선된 구현 방법 성능 분석

힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV) 이다.

이다. 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(While문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다. 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.

직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다. 시간 복잡도는 O(ElogE)로 판단할 수 있다. 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있다. O(ElogE) -> O(ElogV^2) -> O(2ElogV) -> O(ElogV)

todo: 이미지 추가하기!

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