최단 거리 알고리즘(1) - 다익스트라 최단 경로 알고리즘1

최단 거리 알고리즘(1) - 다익스트라 최단 경로 알고리즘1

그리디 알고리즘 과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘 이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다는 특징이 있다.

다익스트라(Dijkstra, 데이크스트라 ) 최단 경로 알고리즘

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 이 알고리즘은 '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작한다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문에 그리디 알고리즘으로 분류된다.

알고리즘 원리

1. 출발 노드 설정

2. 최단 거리 테이블 초기화

3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택

4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신 (--> 그리디 알고리즘)

5. 위의 3단계와 4단계의 반복

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.

초기 상태에서 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 무한으로 초기화한다.

파이썬에서는 int(1e9)(=10억)을 사용하여 초기화 하자!

다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾을 수 있다.

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 2가지이다.

1) 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드(간단한 다익스트라 알고리즘)

- O(V^2)의 시간 복잡도를 가진다. : V = 노드의 개수

- 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언하고, 이후에 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

import sys input = sys.stdin.readline INF = int(1e9) # 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기 n, m = map(int, input().split()) # 시작 노드 번호를 입력받기 start = int(input()) # 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기 graph = [[] for i in range(n+1)] visited = [False] * (n+1) distance = [INF] * (n+1) # 모든 간선 정보를 입력받기 for _ in range(m): a, b, c = map(int, input().split()) graph[a].append((b, c)) # 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환 def get_smallest_node(): min_value = INF index = 0 for i in range(1, n+1): if distance[i] < min_value and not visited[i]: min_value = distance[i] index = i return index def dijkstra(start): # 시작 노드에 대해서 초기화 distance[start] = 0 visited[start] = True for j in graph[start]: distance[j[0]] = j[1] for i in range(n-1): now = get_smallest_node() visited[now] = True # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인 for j in graph[now]: cost = distance[now] + j[1] # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 if cost < distance[j[0]]: distance[j[0]] = cost dijkstra(start) for i in range(1, n+1): if distance[i] == INF: print("infinity") else: print(distance[i]) # 입력 예시 # 6 11 # 1 # 1 2 2 # 1 3 5 # 1 4 1 # 2 3 3 # 2 4 2 # 3 2 3 # 3 6 5 # 4 3 3 # 4 5 1 # 5 3 1 # 5 6 2 # 출력 예시 # 0 # 2 # 3 # 1 # 2 # 4

입력 예시의 그래프

2) 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드(개선된 다익스트라 알고리즘)

- 최악의 경우에도 O(ElogV)의 시간 복잡도를 가진다. : E = 간선의 개수, V = 노드의 개수

- 힙(Heap) 자료구조를 사용한다.

개선된 다익스트라 알고리즘에 대해서는 따로 포스팅을 할 예정입니다.

참고자료

이것이 코딩테스트다 with 파이썬

from http://konrini.tistory.com/15 by ccl(A) rewrite - 2021-09-22 21:27:05