최단경로 알고리즘

최단경로 알고리즘

컴퓨터공학과 학부 수준에서 사용하는 최단 거리 알고리즘은

다익스트라 최단 경로 알고리즘

플로이드 워셜

벨만 포드 알고리즘

이렇게 3가지이다.

위 유형들만 파악해도 코딩 테스트 수준에서의 최단 경로 문제는 어렵지 않게 해결할 수 있다.

더불어 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다는 특징이 있다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.

음의 간선(=0보다 작은 값을 가지는 간선)이 없을때 정상적으로 동작한다.

매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문에, 그리디 알고리즘으로 분류된다.

https://blog.naver.com/ndb796/221234424646

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드이다.

시간복잡도는 O(V^2)

단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

입력 예시

6 11

1

1 2 2

1 3 5

1 4 1

2 3 3

2 4 2

3 2 3

3 6 5

4 3 3

4 5 1

5 3 1

5 6 2

출력 예시

0

2

3

1

2

4

코드는 다음과 같다.

(노드의 개수 + 1) 의 크기로 할당하여, 노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 했다.

import sys input = sys.stdin.readline # 입력 데이터가 많다는 가정하에 INF = int(1e9) # 무한 # n: 노드의 개수, m: 간선의 개수 n, m = map(int, input().split()) # 시작 노드 번호를 입력받기 start = int(input()) # 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기 graph = [[] for _ in range(n + 1)] # 방문한 적이 있는지 체크 visited = [False] * (n + 1) # 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화 distance = [INF] * (n + 1) # 모든 간선 정보를 입력받기 for _ in range(m): a, b, c = map(int, input().split()) # a노드에서 b노드로 가는 비용이 c라는 의미 graph[a].append((b, c)) # 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환 def get_smallest_node(): min_value = INF index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스) for i in range(1, n + 1): if distance[i] < min_value and not visited[i]: min_value = distance[i] index = i return index def dijkstra(start): # 시작 노드에 대해서 초기화 distance[start] = 0 visited[start] = True for j in graph[start]: distance[j[0]] = j[1] # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복 for i in range(n - 1): # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리 now = get_smallest_node() visited[now] = True # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인 for j in graph[now]: cost = distance[now] + j[1] # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 if cost < distance[j[0]]: distance[j[0]] = cost # 다익스트라 알고리즘 수행 dijkstra(start) # 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력 for i in range(1, n + 1): # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력 if distance[i] == INF: print("INFINITY") # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력 else: print(distance[i])

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

위 구현 방법을 사용하면 시간복잡도는 O(ElogV)가 된다.

여기서 V는 노드의 개수이고, E는 간선의 개수를 의미한다.

간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로 탐색해야 했다. 이 과정에서만 O(V^2)의 시간이 걸렸다.

하지만 최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라 더욱더 빠르게 찾을 수 있다면 어떨까?

개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙 자료구조를 사용한다. 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.

힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나이다.

우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제 한다는 점이 특징이다.

다만, PriorityQueue라이브러리 보다는 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작한다.

우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙, 또는 최대 힙을 이용한다.

최소 힙을 이용하는 경우, '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'된다.

최대 힙을 이용하는 경우, '값이 큰 데이터가 먼저 삭제'된다.

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