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[이코테] 최단경로 이론
[이코테] 최단경로 이론
* [나동빈 - 이것이 취업을 위한 코딩테스트다.]를 공부하고 정리한 글 입니다.
가장 빠른 길 찾기
가장 빠르게 도달하는 방법
- 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
- 보통 그래프로 표현하며 각 지점은 '노드', 지점 간 연결된 도로는 '간선'으로 표현
- 코딩테스트에서는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 출제 多
다익스트라 최단 경로 알고리즘
- 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 최단 경로를 구해주는 알고리즘
- 음의 간선이 없을 때 정상 동작
1. 출발 노드 설정
2. 최단 거리 테이블 초기화
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신
5. 위 과정에서 3번과 4번 반복
(다익스트라 알고리즘은 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.)
- 다익스트라 알고리즘은 2가지 방법으로 구현 가능
구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드 (정확히 알아두자!)
다음 예제로 이해해보자
출발 노드를 1이라고 하고 1번 노드에서 다른 모든 노드로의 최단 거리를 계산한다.
초기 상태에서 다른 모든 노드로 가는 최단 거리는 '무한'으로 초기화한다.
Step 0
방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
출발 노드는 거리가 0이기 때문에 출발 노드가 선택됨
노드 번호 1 2 3 4 5 6 거리 0 무한 무한 무한 무한 무한
Step 1
1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용 계산
1과 연결된 노드는 2, 3, 4이고 각각 2, 5, 1의 거리를 가짐
따라서 1에서 출발해 2, 3, 4로 도달하는 거리는 2, 5, 1로 갱신됨
노드 번호 1 2 3 4 5 6 거리 0 2 5 1 무한 무한
Step 2
마찬가지로 방문하지 않은 노드 중 최소거리인 4번이 선택되고 위의 과정을 반복
4번 노드는 3, 5번과 연결되어있다.
1번에서 4번을 거쳐 3번이나 5번으로 가는 경우 각각 4(1+3), 2(1+1)의 거리를 가진다.
저장된 거리보다 짧기 때문에 갱신된다.
노드 번호 1 2 3 4 5 6 거리 0 2 4 1 2 무한
Step 3-6
동일 과정을 계속 반복한다.
노드 번호 1 2 3 4 5 6 거리 0 2 3 1 2 4
위와 같이 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는다.
이제 구현하는 방법을 알아보자.
간단하게 구현
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)
- 간단하게 구현 할 경우 시간복잡도는 O(V^2) 이다.
import sys input = sys.stdin.readline INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정 # 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기 n, m = map(int, input().split()) # 시작 노드 번호를 입력받기 start = int(input()) # 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기 graph = [[] for i in range(n + 1)] # 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기 visited = [False] * (n + 1) # 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화 distance = [INF] * (n + 1) # 모든 간선 정보를 입력받기 for _ in range(m): a, b, c = map(int, input().split()) # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미 graph[a].append((b, c)) # 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환 def get_smallest_node(): min_value = INF index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스) for i in range(1, n + 1): if distance[i] < min_value and not visited[i]: min_value = distance[i] index = i return index def dijkstra(start): # 시작 노드에 대해서 초기화 distance[start] = 0 visited[start] = True for j in graph[start]: distance[j[0]] = j[1] # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복 for i in range(n - 1): # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리 now = get_smallest_node() visited[now] = True # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인 for j in graph[now]: cost = distance[now] + j[1] # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 if cost < distance[j[0]]: distance[j[0]] = cost # 다익스트라 알고리즘을 수행 dijkstra(start) # 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력 for i in range(1, n + 1): # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력 if distance[i] == INF: print("INFINITY") # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력 else: print(distance[i])
개선된 다익스트라 알고리즘
- 넣기만 해도 정렬이 되는 힙 자료구조를 이용해 최단 거리에 대한 정보 처리
힙 자료구조
우선 순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
파이썬에서는 PriorityQueue 또는 heapq로 간단히 구현 가능
삽입 삭제에 모두 O(logN)의 시간 복잡도
- 시간복잡도는 O(ElogV) 이다.
- 큐가 빌 때까지 계속해서 최단 경로를 갱신한다.
짧은 노드를 선택하는 과정을 이미 정렬된 큐에서 원소를 빼는 것으로 대체한다.
import heapq import sys input = sys.stdin.readline INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정 # 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기 n, m = map(int, input().split()) # 시작 노드 번호를 입력받기 start = int(input()) # 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기 graph = [[] for i in range(n + 1)] # 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화 distance = [INF] * (n + 1) # 모든 간선 정보를 입력받기 for _ in range(m): a, b, c = map(int, input().split()) # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미 graph[a].append((b, c)) def dijkstra(start): q = [] # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입 heapq.heappush(q, (0, start)) distance[start] = 0 while q: # 큐가 비어있지 않다면 # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기 dist, now = heapq.heappop(q) # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시 if distance[now] < dist: continue # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인 for i in graph[now]: cost = dist + i[1] # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 if cost < distance[i[0]]: distance[i[0]] = cost heapq.heappush(q, (cost, i[0])) # 다익스트라 알고리즘을 수행 dijkstra(start) # 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력 for i in range(1, n + 1): # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력 if distance[i] == INF: print("INFINITY") # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력 else: print(distance[i])
플로이드 워셜 알고리즘
- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 거리를 구해야하는 경우 사용하는 알고리즘
- 단계마다 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘 수행 but 매번 방문하지 않은 노드 중 최단 거리를 찾을 필요가 없음
- 2차원 리스트를 사용해 구현, 총 시간 복잡도는 O(N^3)
- 다이나믹 프로그래밍 (A에서 B로 가는 최소 비용과 A에서 K를 거쳐 B로 가는 경로 중 작은 값으로 갱신)
예시로 이해해보자!
Step 0
위 그림은 아래 테이블로 나타낼 수 있다.
'연결된 간선'은 단순히 그 값을 채워넣고, 연결되지 않은 간선은 '무한'이라는 값을 넣는다.
출발 / 도착 1번 2번 3번 4번 1번 0 4 무한 6 2번 3 0 7 무한 3번 5 무한 0 4 4번 무한 무한 2 0
Step 1
단순히 1번 노드를 거쳐가는 경우를 고려한다.
즉, 2-1-3, 2-1-4, 3-1-2, 3-1-4, 4-1-2, 4-1-3 총 6가지 경우를 고려한다.
2-1-3만 보면 2번노드에서 1번노드를 거쳐 3번 노드로 가는것을 의미하는데
이 값이 2번에서 바로 3번으로 가는 것보다 작다면 갱신한다.
6가지 경우에 대해 모두 갱신이 완료되면 아래와 같이 테이블이 완성된다.
출발 / 도착 1번 2번 3번 4번 1번 0 4 무한 6 2번 3 0 7 9 3번 5 9 0 4 4번 무한 무한 2 0
Step 2-4
다음 2, 3, 4번 노드에 대해서도 같은 작업을 반복한다.
최종적으로 다음과 같은 테이블이 완성된다.
출발/도착 1번 2번 3번 4번 1번 0 4 8 6 2번 3 0 7 9 3번 5 9 0 4 4번 7 11 2 0
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정 # 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기 n = int(input()) m = int(input()) # 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화 graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] # 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화 for a in range(1, n + 1): for b in range(1, n + 1): if a == b: graph[a][b] = 0 # 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화 for _ in range(m): # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정 a, b, c = map(int, input().split()) graph[a][b] = c # 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행 for k in range(1, n + 1): for a in range(1, n + 1): for b in range(1, n + 1): graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]) # 수행된 결과를 출력 for a in range(1, n + 1): for b in range(1, n + 1): # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력 if graph[a][b] == 1e9: print("INFINITY", end=" ") # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력 else: print(graph[a][b], end=" ") print()
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